《深入浅出统计学》读书笔记

之前读过《概率论导论》，但是当时由于是纯粹的数学导论，比较艰涩难懂。这次在《深入浅出统计学》找到了对应的意义，于是就准备再次记录一下。

1. 泊松分布$p_X(k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!},k=0,1,2,3\dotsb,$在概率论中对其定义就是一个公式，现在在统计学中他得到了具体的范围意义：
   泊松分布包括以下条件:

   1. 单独事件在给定区间内随机、独立地发生,给定区间可以是时间或空间,例如可以是一个星期,也可以是一英里。
   2. 已知该区间内的事件平均发生次数(或者叫做发生率),且为有限数值。该事件平均发生次数通常用希腊字母 $\lambda$表示。
      让我们用X表示给定区间内的事件发生次数,例如一个星期内的损坏次数。如果X符合泊松分布,且每个区间内平均发生次,或者说发生率为$\lambda$ 。【重点：一段时间内，概率固定】

   物理意义的存在可以方便我们理解它的均值和方差，如果这件事的发生概率为$\lambda$，则它的均值就是$\lambda$，然后它的期望也是$\lambda$，过程可以看$e^x$的泰勒展开，正好带入公式消除了。
   方差则用$var(X)=E[X^ 2 ]−(E[X])^ 2 =λ(λ+1)−λ^ 2 =λ$，也可以计算出来。
   那么，我们似乎可以这么认为： 一个时间或某个区间内一件经常发生的事情很可能发生，也很可能不发生。正好对应期望和方差的数学意义。
   如果两件事是相互独立的，那么他们的泊松分布期望和方差也是相加的，这就意味着两件不确定的概率互相叠加。

2. 泊松变量和二项随机变量近似，但是当时导论只是证明了近似，而没有告诉我们具体何种情况相近：如果大规模事件出现小概率事件的次数，可以参照二项式进行快速计算。【重点：次数多，概率小】
   这里给出了具体意义，当$q$近似等于1且n很大时候，二项分布的期望$np$和方差$npq$两者近似相等，那么和泊松分布近似。则$np=\lambda$，如果n大于50，且p小于等于0.1时候。为典型近似。即大规模发生小概率事件，当然也有些要求np的值大于等于10才可以近似。
   使用泊松变量的好处是你不需要区计算时间发生的排列组合，直接可以计算出概率，算是一个较为便捷的速算。

3. 连续分布：当数据不是离散得时候，我们选择使用概率密度来表现，它使用面积来表达概率，以概率密度公式来表达，它很多时候表达得是一个数值范围内事件概率。正态分布是连续数据得理想模型，我们可以通过将非标准正态数据变为标准正态数据，然后通过速查表来进行查找对应概率。【重点：数据连续】
   这里在现实生活中可以进行一个速算，正态分布得x轴就是目标参数，y轴则是一些样本量，简单应用，附近得体重在80公斤得样本量在5个，那么大概率下一个同样类型得样本在80公斤得概率无限接近50%，在目前得样本苏剧观察得来得。
   二项分布，泊松分布，正态分布其实可以互相替换，当二项分布在形态上和正态分布相似，我们可以近似使用正态分布来节约计算。记得进行连续性修正。

阶总结

三者都有自己对应得场景得，对应离散和连续，概率高低，次数多寡等。由于是概率估算，很多时候比如固定概率得大规模时间，你可以使用二项替代泊松，如果二项和正态分布形状很相似得话，用正态分布近似代替二项分布，如果X~B(n, p),np > 5, nq > 5,则可以用X~N(np, npq)近似代替X。
这三个算是最基础得概率模型，我们可以根据实际遇见得情况进行选择，然后对其进行数学变换，计算对应得期望和方差，期望可以判断价值，而方差则代表每次结果得差异化。这对一些实际应用很有帮助。